Dirac - Gleichung

Mit dem Ziel, eine in sich konsistente relativistische Wellenmechanik zu konstruieren, stellte Dirac nach dem Vorbild der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung eine relativistische Wellengleichung auf, die die Zeitableitung nur in erster Ordnung enthält. Aus Gründen der Lorentz-Symmetrie mussten auch die Ortsableitungen in erster Ordnung in die Gleichung eingehen. Es zeigte sich, daß dies nur mit einem vierkomponentigen Dirac-Spinorfeld mit der Hilfe von vier Dirac-Matrizen möglich war.

Die Dirac-Gleichung beschreibt mit ihren 4 Komponenten Teilchen entgegengesetzter Ladung (aber gleicher Masse!) in einer gemeinsamen Gleichung. Die Vertauschung der oberen und unteren Komponenten bedeutet physikalisch den Übergang zum ‘Gegenteil’: ¨ umgekehrte Ladung, umgekehrter Impuls, negative Energie, alles in allem einfach das ‘Fehlen’ eines Teilchens, ein Antiteilchen.

Dirac-Gleichung und g-Faktor - Anfang und Ende  [neo]barocker Theoriefantasien 

Die Herleitung des so genannten g-Faktors (gyromagnetischer Faktor, Landé-Faktor) = 2 mittels der Dirac-Gleichung setzt voraus, daß die Geschwindigkeit des Teilchens klein ist. Bei genauer Sicht wird nicht nur die kinetische Energie sondern auch die elektrostatische Energie als klein gegenüber der Ruheenergie angenommen. Es handelt sich also bei der Bestimmung des Wertes g = 2 schon im Ansatz um eine Näherung. Umso verblüffender ist nun aus logischer Sicht die „Überraschung“ der Protagonisten der Systemphysik, daß der experimentelle Wert für den g-Faktor des Elektrons nicht genau 2 entspricht. Ernsthaft: Wie kann ein approximierter Wert als exakter Erwartungswert gelten?

Mit anderen Worten: Es ist alles andere als verwunderlich, daß der experimentelle Wert für das magnetische Moment des Elektrons (g = 2,002 319 304 361 82(52)) nicht dem theoretisch berechneten Erwartungswert entspricht. [Zum Myon kommen wir später im „eigentlichen Artikel“] Losgelöst von der exakten quantitativen Abweichung, lassen die gewählten Näherungsbedingungen der Dirac-Gleichung diese als qualitative „Ursache“ erkennen. Bei der Berechnung des g-Faktors fehlt der Dirac-Gleichung - salopp formuliert – offensichtlich ein Teil der Wechselwirkungsphysik. Um diese Physik (energetisch) verstehen zu können, müsste man das elektrische sowie das magnetische Feld „phänomenologisieren“. Denn Felder (elektrisch, magnetisch, gravitativ) sind sekundäre Begriffe respektive sekundäre Größen. Der „eingeschlagene“ Weg über die QED liefert zwar sehr gute Korrekturen aber diese liefert keine (konsistente) Phänomenologie.

Halten wir fest: Das der g-Faktor für das Elektron nicht wie theoretisch approximiert 2 sondern (-) 2,00231930436182 beträgt, führen Quantenfeldtheoretiker auf notwendige Korrekturen zurück, die hauptsächlich mittels Quantenelektrodynamik - und zu kleineren Teilen quantenchromodynamisch - begründet sind. Das Minuszeichen (-) gibt an, das die QM-theoriebeladene Messung des magnetischen Momentes eine Erwartungsrichtung vorgibt und der Messwert nicht der "Erwartungsrichtung" entspricht.

„Vergessen“ wir nun QED, QCD, allgemein Standardmodellfantasien. Qualitativ ist aus logischer Sicht sofort klar, daß magnetische und elektrische Felder bei der Bestimmung der magnetischen Momente (siehe exemplarisch die Doppel-Penning-Falle) mit dem massebehafteten Ladungsträger wechselwirken. Mit der Annahme, daß nun die angelegten Felder versuchsinhärent zum magnetischen Moment beitragen, ergibt sich eine plausible Erklärung und insbesondere für Quantenfeldtheoretiker eine unerwartete, erstaunlich gute Alternative zur QED. Mit dem Ergebnis, daß die magnetischen Momente des Elektrons, Protons (und auch des Neutrons) sich masse-radius-gekoppelt berechnen lassen. Im Rahmen eines realobjektfreundlichen Denkmodells erscheint die Quarks basierende, u.a. 25 freie Parameter lastige QCD als komplex-epizyklisch*.  

[Begriffsbestimmung komplex-epizyklisch* Sowohl die Epizykeltheorie aus heutiger Sicht als auch das Standardmodell der Teilchenphysik (SM) als quantenfeldtheoretische Anwendung und Weiterentwicklung der Quantenmechanik basieren auf Fourier-Reihen respektive Fourier-Transformierte. Die Epizykeltheorie arbeitete mit 3 freien Parametern, war mathematisch „richtig“, phänomenologisch falsch und die Objekte der Beschreibung waren (sind) sichtbar (Auge, Fernrohr). Das SM arbeitet mit 25 freien Parametern, variablen Kopplungskonstanten, virtuellen Teilchen, theorieinduzierten, nicht realen Objekten und keines der Objekte ist sichtbar.]

Fazit: "Verkörpert" man das magnetische Feld in einer "energetischen Analogie" so resultieren das messtechnisch erfasste magnetische Moment des Protons und des Elektrons aus der jeweiligen energetischen Überlagerung mit dem Magnetfeld. Das Magnetfeld selbst als „Energiegeber“ ist in Wechselwirkung mit Elektron und Proton und liefert einen "teilchenspezifischen" Beitrag in der Größenordnung von ~ 1e-26 Joule/Tesla zum gemessenen magnetischen Moment. Das bedeutet: Der ganze mathematische QFT-Zauber um vermeintlich anomale (intrinsische) magnetische Momente und deren Korrekturen sind theorieinduziert, oder schlichter formuliert - im wahrsten Sinne des Wortes - gegenstandslos. Des Weiteren folgt daraus: Das experimentell bestimmte magnetische Moment des Protons ist (nunmehr) ohne Substruktur plausibel.

In einfachen Worten: Die Annahme, daß Beiträge zum magnetischen Moment der materiebildenden primären Ladungsträger in einem äußeren Magnetfeld messungsinhärent aus dem Feld kommen und nicht intrinsisch sind, wird zahlenanalytisch, naturphilosophisch als auch formal untersucht und bestätigt. In dem Zusammenhang ist das Neutron masse-radius-gekoppelt Elektron-Proton basierend. Siehe: Anatomie der anomalen magnetischen Momente und das Neutron.

Des Weiteren: Dem so genannten »Dirac-See« folgte die Feynman-Stückelberg-Interpretation für "unerklärliche" negative Energiewerte der Dirac-Gleichung. Im Bild der Quantenmechanik "löste" man dieses Problem vermeintlich mit Hilfe der Heisenbergschen Unschärferelation, indem man die entsprechenden Lösungen willkürlich als Entitäten mit positiver Energie interpretiert, die sich rückwärts in der Zeit bewegen. Das negative Vorzeichen der Energie wird auf die Zeit übertragen (Feynman-Stückelberg-Interpretation). Dirac verstand unter dem Dirac-See das Vakuum als einen unendlichen "See" von Teilchen mit negativer Energie, ohne weitere freie Plätze für negative Energien (?!?). Man muß(te) wahrscheinlich Dirac, Feynman oder Stückelberg heißen, um sich solch naiven "Zauber" leisten zu können. Der Wille fehlende Anschauung durch formale Hilfskonstruktionen bzw. wilde Fantasien zu ersetzen ist überdeutlich. Mathematisch ist das kein Problem, erkenntnistheoretisch schon. 

Der offensichtliche Selbstbetrug der herrschenden Physik besteht nun darin, daß eine Umkehrung der Ladung aus einem Elektron kein Antiteilchen gemäß Einstein-, Dirac- oder Klein-Gordon-Gleichung mit negativer Energie macht. Die „Antiteilchen“ der herrschenden Physik, wie Positronen und Anti-Protonen sind somit keine Antiteilchen. Schon dieses einfache Beispiel zeigt sowohl die sprachliche als auch inhaltliche  „Definitions-Unbestimmtheit“, sprich „Verwirrung“, sprich Sinnleere innerhalb der herrschenden Physik auf.  

Das Elektron ist quantenfeldtheoretisch ohne Ausdehnung, somit ohne Trägheitsmoment daraus folgend realphysikalisch „eigendrehlos“. Es existiert eine rein energetische Analogie, die sich durch Energieniveau-Aufspaltungen manifestiert. Mit einer Eigendreh-Dynamik des Elektrons hat das nichts zu tun. Des Weiteren ist die „Extrapolation“ vom Bohrschen Magneton hin zum intrinsischen magnetischen Moment des Elektrons, wie im Kapitel »Spin« gezeigt wird, im Rahmen formaler „Denkmodelle“ phänomenologisch vollkommen unbegründet.

Fazit: Spin-Bahn-Wechselwirkung gemäß Dirac und "semiklassische" relativistische Korrektur ohne Spin sind im Ergebnis gleich! Der quantenmechanische Spin "entsteht rein mathematisch" mittels so genannter γ-Matrizen "innerhalb" eines Gleichungssystems. Wer Freude an mathematischen Ausführungen hat, kann dies in zahlreichen Abhandlungen selbst recherchieren.

Übrigens: Der »spin« und das »magnetische Moment« sind – entgegen häufig geäußerter Behauptung – nicht nur Ergebnisse der Dirac-Gleichung. Der erste Hinweis darauf, dass man die Pauli-Gleichung samt magnetischem Moment des Elektrons auch ganz im Rahmen einer nichtrelativistischen Theorie herleiten kann, stammt von Galindo.  A. Galindo, Sanchez del Rio, Am.J.Phys. 29, 582 (1961) Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, das sich „langsam“ im elektromagnetischen Feld bewegt, so dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie sind, also ein eindeutig nichtrelativistisches Szenario. Wie in der klassischen Physik entspricht der QM-Ansatz zur Lösung der Schrödinger-, Pauli- oder Dirac-Gleichung der Idee eines bewegten Teilchens (Elektrons). Genau genommen wurde das klassische „himmelsmechanischanaloge“ (Bohrsche) Denkmodell des Wasserstoffatoms in die Quantenmechanik hineinkopiert. Es resultieren zwar im Zuge der theoretischen Weiterentwicklungen den verwendeten Formalismen zusätzliche Korrekturterme zur Energie(aufspaltung), doch die Kernidee eines bewegten Elektrons um einen "Zentralkörper" bleibt primär die Ausgangsbasis (siehe Hamiltonoperator) der Betrachtung.

 

Magnetische Moment des Myons

Das Myon wird vom Standardmodell als strukturloses Lepton mit einer mittleren Lebensdauer von ~ 2,19698e-6s  betrachtet. Das "anomale" magnetische Moment des Myons wird im Standardmodell wie folgt "berechnet".

Massenabhängige QED-Beiträge: In dieser Klasse sind Schleifenbeiträge mit virtuellen Photonen und anderen Leptonen zusammenfasst. Sie treten erst ab dem Zweischleifenniveau auf. Beim Myon kann man zwischen Schleifeneinsetzungen mit dem leichteren Elektron und dem schwereren Tauon unterscheiden. Erstere führen auf große Logarithmen der Form log(mµ/me), während letztere vergleichsweise geringe Korrekturen aufbringen, die bei der Präzision des Brookhaven-Experiments jedoch relevant sind. Die Ungenauigkeiten dieser Klasse von Beiträgen stammen aus der Ungenauigkeit der Massenverhältnisse mµ/me und mµ/mτ. Insgesamt stellen die QED-Beiträge die größten Korrekturen dar. Zum heutigen Zeitpunkt sind sie auf Dreischleifenniveau analytisch und auf Vierschleifenniveau numerisch bekannt.

Hadronische Vakuumpolarisation: Da Quarks keine freien Teilchen sind, sondern hadronisieren, lassen sich ihre Beiträge nicht durch eine Schleifenentwicklung ermitteln. Im Falle der Vakuumpolarisation kann man sich allerdings behelfen und die relevante Photon-Selbstenergiefunktion aus Messungen von e +e − → γ* → hadrons bestimmen.

Hadronische Photon-Photon-Streuung: Im Gegensatz zur Vakuumpolarisation kann sich die hadronische Photon-Photon-Streuung nicht auf experimentelle Daten berufen. Hier muss man sich daher auf effektive Niedrigenergiebeschreibungen der QCD wie die Chirale Störungstheorie stützen, in denen der Hauptbeitrag zu dieser Klasse von Diagrammen durch den Austausch von π0 und anderen Mesonen beschrieben wird. Ingesamt sind die hadronischen Beiträge für den Großteil der Ungenauigkeit des theoretischen Ergebnisses verantwortlich.

Elektroschwache Beiträge: Aufgrund der hohen Masse der W± -, Z0 - und Higgsbosonen sind diese Beiträge stark unterdrückt, jedoch beim Brookhaven-Experiment wegen dessen hoher Präzision erstmals nicht vernachlässigbar. Generell lässt sich diese Klasse von Diagrammen in bosonische Beiträge und Beiträge mit geschlossenen Fermionschleifen unterteilen. Letztere sind besonders kritisch, da hier Auslöschungen mit den verwandten Quarkschleifenbeiträgen zur Erhaltung der Anomaliefreiheit in der SU(3)C x SU(2)L x U(1)Y Eichtheorie stattfinden. Die Ungenauigkeit der elektroschwachen Beiträge ist hauptsächlich durch die Ungenauigkeit von sin θw und der Higgsmasse begründet.

Die Abweichung zwischen Standardmodell-Vorhersage und dem Ergebnis des Brookhaven-Experimentes entspricht einer Diskrepanz von 3,2 σ. Andere Auswertungen haben eine Diskrepanz von 3,4 σ bis 3,6 σ ergeben.

Theorie und Experiment zur Bestimmung des magnetischen Moments des Myons werden in http://www-com.physik.hu-berlin.de/~fjeger/gm2review.pdf nachvollziehbar beschrieben.

Elementarkörper basierend ist das Myon schlicht ein instabiler Elementarkörper. Das Myon wandelt sich gemäß der inhärenten Masse-Radius-Kopplung in ein Elektron, masseabhängige Energie des Myons wandelt sich in radiusabhängige Energie des Elektrons.

Da sich das Myon offensichtlich nicht spontan in ein Elektron umwandeln kann, ist die Angabe eines konkreten magnetischen Moments des Myons eine „Meß-Fiktion“. Insgesamt ist zu bemerken, daß das magnetische Moment des Myons nicht direkt gemessen wird. 

„Interessanterweise“ ist bei der indirekten experimentellen Bestimmung des magnetischen Moments des relativistischen Myons im Ergebnis das magnetische Moment –anders als bei Proton, Elektron und Neutron – von dem additiven Magnetfeldbeitrag befreit. Die relativistische Bewegungsenergie kompensiert (nahezu) den Energiebeitrag des Magnetfeldes zum magnetischen Moment. Dieser Sachverhalt erschließt sich den Standardmodelldenkern nicht, da das Magnetfeld nicht als Energieträger „wahrgenommen“ wird. Konsequent weiter gedacht, stellt sich die Frage nach der effektiven Masse des Myons in den g2-Experimenten (exemplarisch am Brookhaven National Laboratory 1997-2001). Aus Sicht der Elementarkörpertheorie bestätigt somit auch die Messung des magnetischen Moments des Myons die bisherige Sicht der Dinge.

Zum Mitdenken: In Verbindung mit der „ g=2 - erzeugenden“ Dirac-Gleichung gibt es, wie bereits ausgeführt, ein fundamentales „Näherungs-Problem“ erster Instanz für das Myon. In der Dirac-Gleichung wird zur Berechnung von g = 2 vorausgesetzt, daß das zu beobachtende „Dirac-Teilchen“ sich langsam bewegt, daß ist im Falle der experimentellen Bestimmung des magnetischen Moments des Myons, welches sich im Speicherring mit einer relativistischen Geschwindigkeit (Ekin ~ 30 · E0 !)  bewegt definitiv nicht der Fall. Aus diesem Grunde kann die Dirac-Gleichung formal logisch für das Myon gar kein Ergebnis für g liefern. Ohne g = 2 existiert aber kein „normales“ magnetisches Moment des Myons und folgerichtig ist das „anomale“ magnetische Moment des Myons ohne („normale“) Referenz gegenstandslos. Will man also mittels Dirac-Gleichung eine Aussage über das (normale) magnetische Moment des Myons machen, dann kommen nur Experimente in Frage, in denen sich das Myon „langsam“ bewegt.

 

 

 

 

Vorgeschichte

Quantenmechanisches Spin-Postulat und Epizykeltheorie

Die omnipräsenten pathologischen Beschreibungs-Prozeduren herrschender Physik(-Didaktik) mittels Begrifflichkeiten wie Spin oder Spin-Bahn-Wechselwirkung suggestiv an realphysikalische Objekte gedanklich "anzukoppeln", die Masse besitzen, Raum einnehmen und rotieren, ist seit Einführung der Quantenmechanik schizophren. Bedenke: Dem Elektron wird per Postulat ein Radius "abgesprochen". Protonen sind asymmetrisch ladungsfragmentiert, asymmetrisch substrukturiert und deren Quarks liefern u.a. nur ein Prozent der Protonenmasse und - wie bereits bemerkt - keine intrinsischen Spinbeiträge. Diskrete Bahnen wurden durch Wahrscheinlichkeits-Wellenfunktionen ersetzt, die zu "wahrscheinlichen", "verschmierten" Orten und Impulsen führen.

Schizophren auch deshalb, weil im gleichem Atemzuge der analog-mechanisch motivierten Suggestion dann wieder explizit geäußert wird, das es ja nicht so ist, wie in zahlreichen Illustrationen und semantischen Absonderungen propagiert wird.

Literatur-Beispiel:  

Kapitel 10.2 Diracsche Elektronentheorie 1928 Seite 10006  Zitat …“Denn der neue Drehimpuls hat mit dem, was man sich unter diesem Namen als mechanische Größe vorstellen kann, nichts mehr gemein. Er entsteht aus keiner Bewegung, sondern aus dem Zusammenwirken eines räumlichen Vektors mit den Dirac-Matrizen in dem Raum ihrer vier abstrakten Dimensionen.“…

Quelle:  http://www.iup.uni-bremen.de/~bleck/lecture_notes/KT-15Kap.pdf/Kap-10-Elektron_Positron_Leptonen.pdf 

Aus dieser Betrachtung folgt, daß alle theoretischen Ausführungen und Berechnungen zu Spin-Wechselwirkungen ("Spin-Bahn-Kopplung" ► Feinstruktur, Kernspin-"HüllenDrehimpuls" ► Hyperfeinstruktur)  keine Anschaulichkeit besitzen. Es sind lediglich  - mehr oder weniger - komplexe Rechenvorschriften ohne Realobjekt-Anbindung. An dieser Stelle offenbart sich exemplarisch das Dilemma quantenmechanischer Betrachtungen. Aus einer Schar von quantenmechanischen Rechenvorschriften lassen sich Spektrallinien-Aufspaltungen berechnen. In diesem Zusammenhang ist aber jedwede Verbindung zu realphysikalischen Objekten gekappt. Die Frage, warum mathematische Verfahren Lösungen liefern, die man experimentellen Werten zuordnen kann, ist auf Grund der fehlenden Phänomenologie nicht zu beantworten. Darüber hinaus stellt sich grundsätzlich die Frage, inwieweit Meßbares intrinsisch ist? Der generelle Denkfehler liegt in der methodischen Vernachlässigung der Struktur - der von „aussen“ eingebrachten - Wechselwirkungs-Energie. Energieaufspaltungen sind meist nicht selbstinduziert. Durch das "Anlegen" von homogenen oder inhomogenen elektrischen Feldern oder Magnetfeldern wird von aussen eine "energetische Störung" eingeführt. Phänomenologisch sind physikalische Felder unbegründet. Sie stellen aus Sicht eines zu untersuchenden Objektes (…Elektron, Atom, Molekül) unendliche Energie-Reservoirs dar, welche mit den zu untersuchenden "Test-Objekten" wechselwirken. Um diese mehr oder weniger willkürliche Situation zu beenden, wäre es zwingend die „Feld-Phänomenologie“ spektroskopischer Messungen zu bestimmen. Das ist im Rahmen der mathematisch begründeten QM weiterführend QED und QCD im Rahmen des Standardmodells der Teilchenphysik sowie deren (Symmetrie-)Erweiterung (Supersymmetrie) nicht möglich, da die Objekte der Theorien allesamt keinen realphysikalischen Anspruch besitzen.